Các Dạng Bất Đẳng Thức

Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cấp trong chương trình Toán THCS.

Bạn đang xem: Các dạng bất đẳng thức

Bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học cơ sở lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán hay với khó. Những bài tập chứng minh BĐT thường là bài xích cuối cùng trong những đề thi để phân loại học sinh, vấn đề chứng minh bất đẳng thức trung học cơ sở thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Xem thêm: Bảng Giá Dịch Vụ Giặt Đệm Tại Nhà Tphcm, Dịch Vụ Giặt Đệm Giá Rẻ Tại Nhà Hà Nội

Bất đẳng thức thcs cơ bản cùng nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường cần sử dụng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với các bộ số

*
ko âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM mang lại 2 số với 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: cho là 2n số thực tùy ý lúc đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là những số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát tháo Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp nhưng mà phải chứng minh lại bằng biện pháp xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, vì chưng đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa những số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này còn có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây bản thân chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là các số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra lúc

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số ko âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 cùng b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá chỉ trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">